PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

La Probabilidad es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso. En otras palabras, su noción viene de la necesidad de medir o determinar cuantitativamente la certeza o duda de que un suceso dado ocurra o no.

CLASIFICACION

PROBABILIDAD CLÁSICA O ALEATORIA

Se define la probabilidad de que un evento ocurra como: Número de resultados en los que se presenta el evento / número total de resultados posibles. 

Cada uno de los resultados posibles debe ser igualmente posible.La probabilidad clásica, a menudo, se le conoce como probabilidad a priori, debido a que si utilizamos ejemplos previsibles como monedas no alteradas, dados no cargados y mazos de barajas normales, entonces podemos establecer la respuesta de antemano, sin necesidad de lanzar una moneda, un dado o tomar una carta. No tenemos que efectuar experimentos para poder llegar a conclusiones. 

PROBABILIDAD DE FRECUENCIA RELATIVA DE PRESENTACIÓN

Se la define como:

·            La frecuencia relativa observada, de un evento durante un gran número de intentos.

·            La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables. 

Este método utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un evento como una probabilidad. 

Determinamos qué tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro. Cuando utilizamos el planteamiento de frecuencia relativa para establecer probabilidades, el número que obtenemos como probabilidad adquirirá mayor precisión a medida que aumentan las observaciones. 

PROBABILIDAD SUBJETIVA

Las probabilidades subjetivas están basadas en las creencias de las personas que efectúan la estimación de probabilidad. 

La probabilidad subjetiva se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la evidencia que se tenga disponible. Esa evidencia puede presentarse en forma de frecuencia relativa de presentación de eventos pasados, o puede tratarse simplemente de una creencia meditada. 

Las valoraciones subjetivas de la probabilidad permiten una más amplia flexibilidad que los otros dos planteamientos. Los tomadores de decisiones pueden hacer uso de cualquier evidencia que tengan a mano y mezclarlas con los sentimientos personales sobre la situación. 

PROBABILIDAD FRECUENCIAL

La probabilidad frecuencial o empírica es la que se fundamenta en los datos obtenidos por encuestas, preguntas o por una serie larga de realizaciones de un experimento. El cálculo de la probabilidad de un evento y la frecuencia relativa del mismo es lo que se conoce como probabilidad frecuencial. 

Para determinar la probabilidad frecuencial, se repite el experimento aleatorio un número determinado de veces, se registran los datos y se divide el número de veces que se obtiene el resultado que nos interesa, entre el número de veces que se realizó el experimento.

PROBABILIDAD AXIOMÁTICA

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos.

No se establece la forma explícita de calcular las probabilidades sino únicamente se proponen las reglas que el cálculo de probabilidades debe satisfacer.

ESPACIO MUESTRAL

Es el conjunto de todos los resultados que puede tomar un experimento aleatorio. Al tirar un dado, el espacio muestral consiste en el conjunto de todos los valores posibles: 1, 2, 3, 4, 5 y 6

El espacio muestral suele denominarse con la letra S y los sucesos elementales entre corchetes. Por ejemplo en el caso anterior del tiro de un dado: Espacio muestral del tiro de un dado = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

TIPOS DE ESPACIOS MUESTRALES:

·            Espacio Muestral Discreto: toma valores discretos como en el ejemplo anterior del dado.

·            Espacio Muestral Continuo: toma valores continuos como por ejemplo el peso o la altura de una persona.

EJEMPLOS

·                               Espacio muestral del tiro de 1 moneda:

S = {cara, cruz}

·                               Espacio muestral del tiro de 2 monedas:

S = {cara-cara, cara-cruz, cruz-cara, cruz-cruz} 

·                               Espacio muestral del tiro de 1 dado:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

PROCESO DE CONTEO

Abstracción de realizar una operación aritmética con número cardinales (suma, resta, multiplicación o división).

EJEMPLOS

1.        Supongamos que se cuenta con 40 libros de biología y 30 de anatomía humana en la biblioteca de tu plantel; en total hay (40+30) 70 opciones para estudiar.

2.        En una división de 44 alumnos, 20 deben rendir examen de español y 18 deben rendir examen de matemáticas. Si 10 alumnos deben rendir español, pero no matemáticas, se desea averiguar:

·

       

   ¿Cuántos alumnos no tienen que rendir ninguna materia?

·            ¿Cuántos tienen que rendir por lo menos una?

·            ¿Cuántos tienen que rendir por lo menos una?

– 1° paso.Considerando conjunto universal el total de alumnos de la división y ubicando en él los conjuntos de alumnos que deben rendir matemáticas y español.
– 2° paso.Hay 18 alumnos que deben rendir matemáticas y 10 que rinden ambas materias, lo que indica que 8 alumnos rinden solo matemáticas y los ubicamos en M∩C.

Conclusión:

·            16 alumnos no deben rendir ninguna materia.

·            10 alumnos deben rendir ambas materias.

·            28 alumnos rinden por lo menos una materia.

 

3.        Rosa está planeando una cita con su novio. Planea ver una película, salir a cenar y después asistir a un evento deportivo. Está decidiendo entre 5 películas, 8 restaurantes y 2 eventos deportivos.

¿Cuántas citas diferentes puede planear Rossi?

5 (8) = 40 (2) = 80

DIAGRAMA DE ÁRBOL

Es una herramienta que se utiliza para determinar el número de objetos que forman parte del espacio muestral.

EJEMPLOS

FACTORIAL

Cantidad que resulta de la multiplicación de determinado número natural por todos los números naturales que le anteceden excluyendo el cero; se representa por n!

EJEMPLOS

Como ves, 100! es enorme…

Y, ¿qué hacemos con los números más pequeños? 1 factorial es, lógicamente, 1, ya que multiplicamos 1 x 1:

Pero, ¿cómo podemos calcular el 0 factorial? Bueno, esto no tiene sentido cuando aplicamos la norma de que hay que multiplicar todos los números enteros positivos entre el 0 y el 1, ya que 0 x 1 es 0.

Al final, por convenio se ha acordado que lo más útil es que el 0 factorial sea igual a 1. Así que recuerda:

En este problema nos están pidiendo lo que se llama una permutación, es decir, que averigüemos todas las maneras posibles en las que estas 4 cartas se pueden combinar teniendo en cuenta el orden en el que las colocamos.

Si comenzamos haciendo todas las filas posibles comenzando con el as de diamantes, podemos hacer 6 combinaciones:

También tendremos 6 combinaciones posibles con el de tréboles, con el de corazones y con el de picas, es decir, 6 combinaciones empezando con cada una de las 4 cartas: 4 x 6 = 24

Utilizando la función factorial, podríamos haber resuelto el problema de forma mucho más sencilla:

Pensamos en una sola combinación de los 4 ases:

– Cuando hemos elegido el primero, ya solo nos quedan 3 para elegir

– Cuando hemos elegido el segundo, ya solo nos quedan 2 para elegir

– Cuando hemos elegido el tercero, ya solo nos queda 1 para elegir

Por lo tanto, todas las combinaciones posibles serán 4 x 3 x 2 x 1.

O lo que es lo mismo, 4! = 24

¿Cuánto es 10! si ya sabes que 9!=362.880?

10! = 10 × 9!

10! = 10 × 362.880 = 3628.800

Así que la regla es:

n! = n × (n-1)!

Lo que significa "el factorial de cualquier número es: el número por el factorial de (1 menos que el número", por tanto 10! = 10 × 9!, o incluso 125! = 125 × 124!

PERMUTACIONES

Es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto ordenado o una dupla sin elementos repetidos.